Klik disini >>> 🌟 Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah

Persamaangaris p seperti tampak pada gambar adalah: 3y = -2x + 18. 2y = 3x + 9. 2y = -3x + 9. 3y = -2x - 18. Penjelasan dan Pembahasan. Jawaban a. 3y = -2x + 18 menurut saya ini salah, karena sudah menyimpang jauh dari apa yang ditanyakan.. Jawaban b. 2y = 3x + 9 menurut saya ini juga salah, karena setelah saya cek di situs ruangguru ternyata lebih tepat untuk jawaban pertanyaan lain. 852. Harga 5 pensil dan 2 buku Rp26.000,00 sedangkan harga 3 pensil dan 4 buku Rp38.000,00. Jika harga 1 pensil dinyatakan dengan a dan harga 1 buku dinyatakan dengan b, maka sistem persamaan linear dua variabel yang berkaitan dengan pernyataan di atas adalah . A. 5a + 2b = 26.000 dan 4a + 3b = 38.000 B. 5a + 2b = 26.000 dan 3a + 4b = 38.000 C. 2a + 5b = 26.000 dan 3a + 4b = 38.000 D. 2a Padatulisan ini kami ingin membagikan soal matematika kelas 8 semester ganjil tentang materi Persamaan garis lurus. Mencari gradien melalui titik menentukan gradien berdasarkan grafik menentukan gradien berdasarkan persamaan garis menyusun persamaan garis. Persamaan garis lurus adalah suatu perbandingan antara koordinat y dan koordinat x dari Gradiena adalah . Garis b tegak lurus garis a, maka dan garis b melalui titik (-1, 0). Maka garis b: Tolongpakai caranya - Brainlycoid persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah - Brainlycoid Edisi lupa pelajaran kelas 8 Soal. Admin blog Dapatkan Contoh 2019 juga mengumpulkan gambar-gambar lainnya terkait contoh soal dan pembahasan persamaan garis lurus smp kelas 8 dibawah ini. berikut satuan ukuran memori yang paling kecil adalah. SDMatematikaBahasa IndonesiaIPA TerpaduPenjaskesPPKNIPS TerpaduSeniAgamaBahasa DaerahSMPMatematikaFisikaBiologiBahasa IndonesiaBahasa InggrisGeografiSosiologiSejarahEkonomiPenjaskesPPKNAgamaSeniTeknologi InformasiBahasa DaerahSMAMatematikaFisikaKimiaBiologiBahasa IndonesiaBahasa InggrisSejarahEkonomiGeografiSosiologiPenjaskesPPKNSeniAgamaKewirausahaanTeknologi InformasiBahasa DaerahUTBK/SNBTMatematikaEkonomiGeografiSosiologiBahasa IndonesiaBahasa InggrisSejarahFisikaKimiaBiologiRuangguruRoboguru PlusDafa dan LuluKursus for KidsRuangguru for KidsRuangguru for BusinessRuangujiRuangbacaRuangkelasRuangbelajarRuangpengajarRuangguru PrivatRuangpeduliBerandaPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adala...IklanIklanPertanyaanPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah .... 2y = x - 1 2y = - x -12y = x + 12y = - x + 1IklanKPK. PutriMaster TeacherMahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan GaneshaJawaban terverifikasiIklanPembahasan Latihan BabBentuk Umum Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaKemiringan Garis GradienPersamaan Garis LurusHubungan Dua GarisPerdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!2rb+ 4 ratingYuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!HYHeri Yanus Makasih ❤️IklanIklanKlaim Gold gratis sekarang!Dengan Gold kamu bisa tanya soal ke Forum sepuasnya, HQJl. Dr. Saharjo Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860Coba GRATIS Aplikasi RoboguruCoba GRATIS Aplikasi RuangguruProduk RuangguruRuangguruRoboguru PlusDafa dan LuluKursus for KidsRuangguru for KidsRuangguru for BusinessRuangujiRuangbacaRuangkelasRuangbelajarRuangpengajarRuangguru PrivatRuangpeduliProduk LainnyaBrain Academy OnlineEnglish AcademySkill AcademyRuangkerjaSchotersBantuan & PanduanKredensial PerusahaanBeasiswa RuangguruCicilan RuangguruPromo RuangguruSyarat & KetentuanKebijakan PrivasiTentang KamiKontak KamiPress KitBantuanKarirFitur RoboguruTopik RoboguruHubungi Kami081578200000info Kami©2023 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia BerandaPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adala...PertanyaanPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah .... RDMahasiswa/Alumni Universitas Negeri MalangPembahasanGradien a adalah Garis b tegak lurus garis a, maka dan garis b melalui titik -1, 0 Maka garis b Gradien a adalah Garis b tegak lurus garis a, maka dan garis b melalui titik -1, 0 Maka garis b Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!299Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!KAKeysha Aulia Pradani Ini yang aku cari! Makasih ❤️©2023 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia Pembahasan soal Matematika SMP Ujian Nasional UN tahun 2016 nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang grafik fungsi kuadrat, sistem persamaan linear, garis dan sudut, serta sifat segitiga. Soal No. 21 tentang Grafik Fungsi Garis Lurus Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah …. A. 2y = x − 1 B. 2y = −x − 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = −x + 1 Garis a melalui titik −1, 0 dan 0, 2. Gradien garis a adalah ma = y/x = 2 − 0/0 − −1 = 2 Garis b tegak lurus garis a. Dua garis yang saling tegak lurus, perkalian gradiennya sama dengan −1. ma × mb = −1 2 × mb = −1 mb = −1/2 Garis b melalui titik −1,0 dengan gradien −1/2 adalah y − y1 = mx − y1 y − 0 = −1/2 x + 1 Masing-masing suku kalikan dengan 2, diperoleh 2y = −x − 1 Jadi, persamaan garis b adalah 2y = −x − 1 B. Soal No 22 tentang Sistem Persamaan Linear Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah …. A. B. C. D. Pembahasan Kita misalkan terlebih dahulu. x mobil y motor Model matematika untuk soal di atas adalah 3x + 5y = … 1 4x + 2y = 2x + y = … 2 Sekarang kita eliminasi 2 persamaan tersebut. 2x + y = ×5 10x + 5y = 3x + 5y = ×1 3x + 5y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 7x = x = Substitusi x = ke persamaan 2. 2x + y = 2× + y = + y = y = Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah 20x + 30y = 20× + 30× = + = Jadi, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah C. Soal No. 23 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar berikut! Besar pelurus sudut KLN adalah …. A. 31° B. 72° C. 85° D. 155° Pembahasan Hati-hati dengan soal di atas, yang ditanyakan bukan sudut KLN, tetapi pelurus sudut KLN, yaitu sudut MLN. Karena kedua sudut saling berpelurus maka jumlah keduanya adalah 180°. ∠KLN + ∠MLN = 180° 3x + 15° + 2x + 10° = 180° 5x + 25° = 180° 5x = 155° x = 31° Dengan demikian, pelurus ∠KLN adalah pelurus ∠KLN = ∠MLN = 2x + 10° = 2×31° + 10° = 62° + 10° = 72° Jadi, pelurus sudut KLM adalah 72° B. Soal No. 24 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar! Besar sudut BAC adalah …. A. 30° B. 40° C. 50° D. 90° Pembahasan Sudut ABC berpelurus dengan sudut CBD sehingga ∠ABC + ∠CBD = 180° ∠ABC + 140° = 180° ∠ABC = 40° Sementara itu, jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° y + 10° + 40° + 2y +10° = 180° 3y + 60° = 180° 3y = 120° y = 40° Nah, sekarang masuk ke pertanyaan. ∠BAC = y + 10° = 40° + 10° = 50° Jadi, Besar sudut BAC adalah 50° C. Soal No. 25 tentang Sifat Segitiga Panjang sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r. Pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah …. A. p + q p C. p − q q Pembahasan Syarat terbentuknya segitiga adalah sisi terpanjang harus lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya. Jika panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r p sisi terpanjang maka berlaku q + r > p Bentuk di atas tidak terdapat pada opsi jawaban. Mari kita pindah ruas! q − p > −r Masih tidak ada. Sekarang masing-masing suku dikalikan negatif tanda pertidaksamaan akan berubah −q + p < r p − q < r Nah, ada kan? Jadi, pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah opsi C. Simak Pembahasan Soal Matematika SMP UN 2016 selengkapnya. Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini. Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah. Kelas 8 SMPPERSAMAAN GARIS LURUSBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaGambarlah garis-garis dengan persamaan berikut ini dengan terlebih dahulu menentukan nilai x jika y = 0 dan menentukan nilai y jika x = 0. 2x + y = 6Bentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPERSAMAAN GARIS LURUSALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0203Dari persamaan garis berikut i y = 2x - 3 ii y =3x -...0226Diantara persamaan-persamaan berikut ini; manakah yang bu...0220Grafik persamaan garis lurus 2y+x=4 adalah ....A. y x B y...Teks videoBerikut ini kita memiliki 2 x + 9 = 6 karena kita disuruh untuk menggambarkan garis-garis dengan persamaan berikut ini maka kita harus terlebih dahulu menentukan titik potong pada sumbu x dan juga sumbu y pada grafik dengan memasukkan nilai x = 0 dan juga y = 0. Jadi pertama kita akan memasukkan nilai x = 0 terlebih dahulu. Jika kita masukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan 2 dikalikan dengan 0 ditambah sehingga jika 2 dikalikan dengan 0 menjadi 0 maka kita tidak perlu menuliskan nomornya lagi di langsung saja kita Tuliskan y = 6 karena disini diberitahu bahwa x = 0 dan hasil akhir dari nya adalah 6 maka kita dapat menentukan bahwa titik koordinatnya adalah koma 6 selanjutnya kita akan memasukkan nilai y = 0 ke dalam rumus Jadi jika y = 0 kita akan memperoleh 2 x + 0 = 6 dan juga karena nol tidak bernilai apapun maka kita bisa langsung tulis 2 x = 6 sehingga kita dapat memperoleh nilai x yaitu 3 x = 0 dan X = 3 sehingga kita dapat memperoleh nilai titik koordinat yang kedua yaitu 3,0 dimana kita akan menggambarkan garis-garisnya terlihat atau tampak seperti ini dikatakan sebagai sumbu x adalah garis yang horizontal sedangkan garis yang dikatakan sebagai sumbu y adalah garis yang vertikal dan step selanjutnya atau langkah selanjutnya kita akan menandai titik titik koordinat pada grafik Jadi yang pertama adalah titik 0,6 jadi titik 0,6 Tahu semua ada disini yang ditandai dengan titik berwarna merah. Selain itu titik koordinat yang kedua adalah titik 3,0 yang ditandai oleh titik pada sumbu-x ini kita akan gabungkan kedua titik ini dengan satu garis seperti ini maka garis dengan persamaan 2 x + y = 6 akan tampak seperti ini pada grafik sampai jumpa pada soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi. Semua gambar grafik yang terdapat pada pos ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah GeoGebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 164 KB. Today Quote Siapkan masa kini. Tidak perlu menyesali apa yang telah terjadi di masa lalu dan mengkhawatirkan apa yang belum terjadi di masa depan. Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Elips Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Hiperbola Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Lingkaran yang berpusat di titik $p$ menyinggung sumbu $Y$ seperti yang terlihat pada gambar berikut. Persamaan lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x-10^2+y+6^2=10$ B. $x-10^2+y+6^2=36$ C. $x+10^2+y-6^2=36$ D. $x-10^2+y+6^2=100$ E. $x+10^2+y-6^2=100$ Pembahasan Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $10, -6$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$. Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $x-a^2+y-b^2 = r^2$. Untuk $a, b = 10, -6$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{x-10^2+y+6^2 = 100}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $Ph, k$ dan $r$ berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+8x-2y-8=0.$ Nilai dari $r+k-h = \cdots \cdot$ A. $10$ C. $15$ E. $19$ B. $12$ D. $17$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum kanonik, yakni $$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ x+4^2- 16 + y-1^2-1-8 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2-25 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2 &=25 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $x_p, y_p$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2.$ Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $-4, 1$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5.$ Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$ sehingga $\boxed{r + k-h = 5 + 1-4 = 10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Lingkaran $$L \equiv x+1^2+y-3^2=9$$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 2$ dan $x =-4$ B. $x = 2$ dan $x =-2$ C. $x =-2$ dan $x = 4$ D. $x =-2$ dan $x =-4$ E. $x = 8$ dan $x =-10$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x+1^2+y-3^2 &=9 \\ x+1^2+\color{red}{3}-3^2 & = 9 \\ x+1^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $2,3$ dan $-4, 3.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $2,3$ adalah $\begin{aligned} x+12+1 + y-33-3 & = 9 \\ 3x+1 & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $-4,3$ adalah $$\begin{aligned} x+1-4+1 + y-33-3 & = 9 \\-3x+1 & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4,$ seperti yang tampak pada gambar grafik berikut. Jawaban A [collapse] Baca Juga Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika Soal Nomor 4 Lingkaran $$L \equiv x-3^2+y-2^2=4$$ memotong garis $y = 2$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x =-1$ dan $x =-5$ B. $x =-1$ dan $x = 5$ C. $x = 1$ dan $x =-5$ D. $x = 1$ dan $x = 5$ E. $x = 4$ dan $x = 6$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x-3^2+y-2^2 &=4 \\ x-3^2+\color{red}{2}-2^2 & = 4 \\ x-3^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $1,2$ dan $5,2$. Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $$x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p = r^2.$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $1,2$ adalah $\begin{aligned} x-31-3 + y-22-2 & = 4 \\-2x-3 & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $5,2$ adalah $\begin{aligned} x-35-3 + y-22-2 & =4 \\ 2x-3 & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5,$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Soal Nomor 5 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+12x-6y+13=0$ di titik $-2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y+1=0$ B. $x+2y+4=0$ C. $2x-y+3=0$ D. $-2x-y-5=0$ E. $3x-2y+4=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}12x-2+\dfrac{1}{2}-6y-1 + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y+1 = 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 6 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y-12=0$ B. $x-y-4=0$ C. $x-y-3=0$ D. $x+y-3=0$ E. $x+y+3=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C = 11$, $x_1 = 2,$ dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}-6x+2+\dfrac{1}{2}4y-1 + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y-3= 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $7,1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y-41=0$ B. $4x+3y-55=0$ C. $4x-5y-53=0$ D. $4x+3y-31=0$ E. $4x-3y-40=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C =-12,$ $x_1 = 7$, dan $y_1 = 1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}-6x+7+\dfrac{1}{2}4y+1-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x^2+3y^2-6x-15y+16=0$ B. $2x^2+2y^2-4x-8y+9=0$ C. $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$ D. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$ E. $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ Pembahasan Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $x_p, y_p = 1,2.$ Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti, $$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan $\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}$ yaitu $\begin{aligned} r & = \dfrac{-11 + 12 + 0}{\sqrt{-1^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$ Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $$\begin{aligned} x-x_p^2+y-y_p^2 & = r^2 \\ x-1^2+y-2^2 & = \left\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right^2 \\ x^2-2x+1+y^2-4y+4 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$ A. $x+2y+2=0$ B. $x+2y+6=0$ C. $x+2y-2=0$ D. $x+2y=0$ E. $x+2y-8=0$ Pembahasan Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$ Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$ Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ x^2- 8x + y^2 + 6y-20 & = 0 \\ x- 4^2-16 + y+3^2-9-20 & = 0 \\ x-4^2 + y+3^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $4,-3.$ Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran. Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 4,-3$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 &= mx-x_1 \\ y-3 & =-\dfrac{1}{2}x- 4 \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$ Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Titik $a, b$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ D. $12$ B. $6$ E. tidak bisa dipastikan C. $8$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $0,0$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25.$ Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya. Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya. Untuk itu, pasangan $x, y \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah $\begin{aligned} & \{0, 5, 0,-5, 5, 0, -5, 0, 3, 4, \\ & 3,-4, -3, 4, -3,-4, 4, 3, \\ & 4,-3, -4, 3, -4,-3\} \end{aligned}$ Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2$ $-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x-y=14$ B. $2x-y=10$ C. $2x-y=5$ D. $2x-y=-5$ E. $2x-y=-6$ Pembahasan Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. $$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ x-1^2-1 + y + 3^2-9-10 & = 0 \\ x-1^2 + y+3^2 & = 20 \end{aligned}$$Lingkaran tersebut berpusat di $1,-3$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5.$ Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2.$ Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2.$ Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $1,-3$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} y-y_p & = mx-x_p \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-3 & = 2x-1 \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$ Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu $\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ dan $x^2+y^2+10x-8y+25=0$. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah $\cdots \cdot$ A. berpotongan di satu titik B. tidak berpotongan C. bersinggungan luar D. bersinggungan dalam E. sepusat Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+6x + y^2-8y + 21 & = 0 \\ x+3^2-9 + y-4^2-16 + 21 & = 0 \\ x+3^2 + y-4^2 = 4 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-3, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2.$ Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+10x + y^2-8y + 25 & = 0 \\ x+5^2-25 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 & = 16 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-5, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-5 = 2.$ Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2.$ Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam. Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A-2,1$ dan $B4,-3$. Jika $Px,y$ terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga $PA^2 + PB^2 = AB^2$, maka $P$ merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu $X$ pada $\cdots \cdot$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x = 2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$ $x = 2\sqrt{13}-1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x =-2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ Pembahasan Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$. Diketahui $Px, y, A-2,1, B4,-3.$ Dengan menggunakan rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} \left\sqrt{x+2^2+y-1^2}\right^2 + & \left\sqrt{x-4^2+y+3^2}\right^2 \\ & = \left\sqrt{-2-4^2+1+3^2}\right^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya. $\begin{aligned} & x^2+4x+4+ y^2-2y+1+ \\ & x^2-8x+16+ y^2+6y+9 = 52 \end{aligned}$ Sederhanakan bentuk aljabarnya. $\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$ Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat. Lingkaran ini memotong sumbu $X$ saat $y = 0$, sehingga $\begin{aligned} x^2+0^2-2x+20-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$ Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas. $\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{-2^2-41-11}} {21} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$ Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu $X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2 = 36$ dari titik $9,-6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y=12$ B. $3x-2y=12$ C. $3x+2y=-18$ D. $3x-y=12$ E. $2x-3y=18$ Pembahasan Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $x_1,y_1$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$. Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $9,-6$ adalah $\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 15 Lingkaran yang berpusat di $2,3$ dan menyinggung garis $y-7=0$, juga menyinggung garis dengan persamaan $\cdots \cdot$ A. $x+6 = 0$ dan $y + 4 = 0$ B. $x-6 = 0$ dan $y + 1 = 0$ C. $x+2 = 0$ dan $y-6 = 0$ D. $x-2 = 0$ dan $y-6 = 0$ E. $x-2 = 0$ dan $y + 1 = 0$ Pembahasan Perhatikan sketsa berikut. Jika titik pusat lingkaran di $2, 3$, maka jarak titik ini ke titik singgung $2, 7$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 4^2 = 16.$ Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah $\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7 = 0 \end{aligned}$ Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B. [collapse] Soal Nomor 16 Jika kuasa titik $Mm, 4$ sama dengan nol terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$, maka nilai $m = \cdots \cdot$ A. $\sqrt{3}$ D. $\pm 2$ B. $3$ E. $\pm 3$ C. $2$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $x_1, y_1$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25.$ Agar nilai tersebut nol, kita tuliskan $\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 17 Misalkan titik $A$ dan $B$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2-6x-2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,1$. Jika luas segi empat yang melalui titik $A,B,C$, dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $0$ D. $2$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. $$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ x- 3^2- 9 + y-1^2-1+k&=0 \\ x-3^2 + y-1^2 & =10- k \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $P3,1$ dan $r = \sqrt{10-k}.$ Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P3,1$ ke titik $C8,1$ membentuk garis horizontal mendatar. Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal sehingga segi empat $PABC$ berupa layang-layang. Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya. Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A.$ Diketahui $\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$ Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. $\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-10-k} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$ Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh $\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ 10-k k+15 & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ k+6k-1 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1.$ Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C. [collapse] Soal Nomor 18 Lingkaran $x^2 + y^2 -16x-12y = 0$ memotong sumbu $Y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik $P$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y = 4x + 36$ B. $3y =-4x + 36$ C. $3y = 4x + 12$ D. $4y = 3x + 12$ E. $4y =-3x + 12$ Pembahasan Karena lingkaran memotong sumbu $Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-160-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ yy+12 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $0,0$ atau $0,12$. Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0$, $x_1 = y_1 = 0.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,0$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 0y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+0 + 0 & = 0 \\ -8x-6y & = 0 \\ 4x + 3y & = 0 \end{aligned}$$ Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0,$ $x_1 = 0, y_1 = 12.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,12$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 12y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+12 + 0 & = 0 \\ 12y-8x-6y-72 & = 0 \\ 6y & = 8x + 72 \\ 3y & = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A. Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya. [collapse] Soal Nomor 19 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2+5x-5y+25=0$ B. $x^2+y^2-5x+5y+25=0$ C. $x^2+y^2+10x-10y+25=0$ D. $x^2+y^2-10x+10y+25=0$ E. $x^2+y^2+5x+5y+10=0$ Pembahasan Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut. Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $-r, r.$ Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0,$ maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh $\begin{aligned} 2-r+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$ Pusat lingkaran di $-5, 5$. Persamaan lingkarannya adalah $$\begin{aligned} x-a^2+y-b^2&=r^2 \\ x+5^2+y-5^2 & = 5^2 \\ x^2+10x+25+y^2-10y+\cancel{25} & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ menyinggung garis $ax+by=2a$. Nilai dari $\dfrac{a^2}{a^2+b^2}$ $= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ berpusat di $x_1, y_1 = -1, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$. Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} r & = 3 \\ \left\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{a-1+b0+-2a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 21 Titik pusat lingkaran $L$ berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis $y = 2x$. Jika $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, persamaan lingkaran $L$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2-3x-6y=0$ B. $x^2+y^2+6x-12y-108=0$ C. $x^2+y^2+12x+6y-72=0$ D. $x^2+y^2-12x-6y=0$ E. $x^2+y^2-6x-12y+36=0$ Pembahasan Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu $6 = 2x \Leftrightarrow x = 3.$ Jadi, pusat lingkaran $L$ di $3,6.$ Panjang jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $3,26$ ke $0,6$, yaitu $r = 3.$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $\begin{aligned} x-3^2 + y-6^2 &= 3^2 \\ x^2-6x + 9 + y^2-12y + 36 & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 22 Diketahui lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 -2x-4y-10 = 0$. Garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya dan melalui titik $a, b$ memiliki persamaan $\cdots \cdot$ $b+2x+1+ay+2a-b = 0$ $b-2x+1+ay+2a+b = 0$ $b+2x+1-ay+2a-b = 0$ $b+2x+1-ay+2a+b = 0$ $b-2x+1-ay+2a-b = 0$ Pembahasan Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran. Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan $$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ x-1^2-1+y-2^2-4-10 & = 0 \\ x-1^2+y-2^2 & = 15 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat di $1, 2.$ Persamaan garis yang melalui $1, 2$ dan $a, b$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ y-2a-1 & = b-2x-1 \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ b-2x+1-ay+2a-b & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{b-2x+1-ay+2a-b = 0}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 23 Salah satu persamaan garis singgung dari titik $0, 4$ pada lingkaran $x^2+y^2 = 4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \sqrt3x + 2$ B. $y = \sqrt3x + 4$ C. $y = 3x + 4$ D. $y = \sqrt5x + 4$ E. $y = 5x + 4$ Pembahasan Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran itu sehingga diperoleh $$0^2 + 4^2 = 16 > 4.$$Ini artinya titik $0, 4$ berada di luar lingkaran. Misalkan persamaan garis singgung yang dimaksud berbentuk $y = mx + c.$ Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada persamaan garis sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 4 & = m0 + c \\ c & = 4. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $y = mx + 4.$ Berikutnya, substitusikan pada persamaan lingkaran. $$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 4 \\ x^2 + mx + 4^2 & = 4 \\ x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 & = 4 \\ \underbrace{1+m^2}_{a}x^2 + \underbrace{8m}_{b}x + \underbrace{12}_{c} & = 0. \end{aligned}$$Karena garis menyinggung lingkaran, maka persamaan kuadrat di atas harus berdiskriminan $0.$ $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-41+m^212 & = 0 \\ 64m^2-48-48m^2 & = 0 \\ 16m^2 & = 48 \\ m^2 & = 3 \\ m & = \pm \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $y = \sqrt3x + 4$ atau $y = -\sqrt3x + 4.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diberikan lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-4x-14y+44=0.$ Jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $7$ E. $13$ B. $5$ D. $10$ Pembahasan Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2+y^2-4x-14y + 44 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-14y + 44 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-7^2-49 + 44 & = 0 \\ x-2^2 + y-7^2 & = 9. \end{aligned}$$Jadi, lingkaran itu berpusat di $2, 7$ dan berjari-jari $\sqrt9 = 3.$Titik $14, 2$ berada di luar lingkaran tersebut karena substitusi pada ruas kiri menghasilkan nilai lebih dari $9.$ Untuk mencari jarak terdekat titik ini ke lingkaran, cari dulu jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, kemudian dikurangi dengan panjang jari-jarinya. $$\begin{aligned} 14, 2 \to 2, 7 \Rightarrow d & = \sqrt{14-2^2 + 2-7^2} \\ & = \sqrt{144 + 25} \\ & = 13 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran sama dengan $3$ sehingga jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\boxed{13-3=10}$ Jawaban D [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan. a. $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ b. $x^2 + y^2-4x- 8y + 25 = 0$ c. $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $x-a^2+y-b^2 = r^2$ dengan $a, b$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$. Jawaban a Persamaan $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $x- 4^2 + y-1^2 = 36$ Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $4, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6.$ Jawaban b Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut. $$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-8y + 25 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x-2^2 + y-4^2 & =-5 \end{aligned}$$Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran. Jawaban c Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran. [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut. Berdiameter $10$ dan berpusat di titik $-5,5$; Berjari-jari $7$ dan berpusat di titik $1,0$; Berjari-jari $\sqrt{3}$ dan berpusat di titik asal. Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Diketahui $d = 10, r = 5$, $r^2 = 25, a =-5, b = 5.$ Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+5^2+y-5^2 = 25}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$ Jawaban b Diketahui $r = 7, r^2 = 49$, $a = 1, b = 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-1^2+y^2 = 49}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$ Jawaban c Diketahui $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0.$ Catatan Titik asal disebut juga titik pusat koordinat, yaitu $0, 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2 = 3}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut. a. $x+5^2+y-3^2 = 16$ b. $x^2+y^2+10x-8y-8=0$ c. $3x^2+3y^2+12x-9y = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$. Jadi, kooordinat titik pusatnya di $-5,3$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang. Jawaban b Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ x^2+10x + y^2-8y + 8 & = 0 \\ x+5^2- 25 + y-4^2-16 + 8 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 = 33 \end{aligned}$$Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.$ Jadi, koordinat titik pusatnya di $-5,4$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang. Jawaban c Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ x^2+4x + y^2-3y & = 0 \\ x + 2^2-4 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ x + 2^2 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$ Diperoleh $a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$. Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left-2,\dfrac{3}{2}\right$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang. [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan $x-2^2 + y+5^2 = 40.$ Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu. a. Titik $A2, 5$ b. Titik $B-4,-3$ c. Titik $C0,-4$ d. Titik $D8,-7$ e. Titik $E-1,2$ f. Titik $F6,-2$ Pembahasan Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $x, y$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran. Jawaban a Titik $A2,5$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 2-2^2 + 5+5^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban b Titik $B-4,-3$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = -4-2^2 + -3+5^2 \\ & = -6^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$ Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu. Jawaban c Titik $C0,-4$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = 0-2^2 + -4+5^2 \\ & = -2^2 + 1^2 \\ & = 5 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban f Titik $F6,-2$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 6-2^2 + -2+5^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & \dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~~k \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$ [collapse] Soal Nomor 9 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik $A 2,-4, B5,-1$, dan $C2,2$. Pembahasan Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $x-a^2 + y-b^2 = r^2$, dengan $a, b$ titik pusat lingkaran. Dengan substitusi nilai $x, y$ pada persamaan itu, diperoleh $$\begin{aligned} A2,-4 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 && \cdots 1 \\ B5,-1 5-a^2 + -1-b^2 & = r^2 && \cdots 2 \\ C2,2 2-a^2 + 2-b^2 & = r^2 && \cdots 3 \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh $$\begin{aligned} -4-b^2-2-b^2 & = 0 \\ -4-b-2+b-4-b+2-b & = 0 \\-6-2b-2 & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$$Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan. $$\begin{aligned} 2-a^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ 5-a^2 + -1+1^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ 2-a^2 + 9-5-a^2 & = 0 \\ 4- 4a + a^2 + 9-25-10a + a^2 & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1. $\begin{aligned} 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 \\ 2-2^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{x-2^2 + y+1^2 = 9}$ Gambar grafiknya sebagai berikut. [collapse] Soal Nomor 10 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari gradien yang diketahui berikut. a. $x^2+y^2=4; m = 2$ b. $x^2+y^2-4x-2=0; m =-1$ c. $x^2+y^2-3x+2y-3=0; m = 1$ d. $x^2+y^2-3x-5=0; m =-3$ e. $x+2^2+y-1^2=8; m=1$ f. $x-1^2+y-5^2=10; m = 2$ g. $x^2+y+2^2=5; m =-3$ Pembahasan Jawaban a Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$. Lingkaran ini memiliki pusat di $0, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-0 & = 2x-0 \pm 2\sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$. Jawaban b Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} x-2^2-4 + y^2-2 & = 0 \\ x-2^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $2, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-1x-2 \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+-1^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$. Jawaban c Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $$\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + [y+1^2-1]-3 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32,-1\right$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1& = 1\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$. Jawaban d Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32, 0\right$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-3\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+-3^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$. Jawaban e Diketahui persamaan lingkaran $x+2^2+y-1^2=8$. Lingkaran ini memiliki pusat di $-2, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1 & = 1x-2 \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y & = x+3 \pm 4 \end{aligned}$$Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1.$ Jawaban f Diketahui persamaan lingkaran $x-1^2+y-5^2=10$. Lingkaran ini memiliki pusat di $1, 5$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-5 & = 2x-1 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 11 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ yang memenuhi kriteria berikut. tegak lurus terhadap garis $x+3y-15=0$; sejajar terhadap garis $x+3y-15=0$. Pembahasan Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni $$\begin{aligned} x-2^2-4+y+4^2-16+10 & =0 \\ x-2^2+y+4^2 & = 10 \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki titik pusat di $2,-4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Jawaban a Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =3x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + 3^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$. Jawaban b Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =-\dfrac13x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left-\dfrac13\right^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23 \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$. [collapse] Soal Nomor 12 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada koordinat $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$; koordinat $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$. Pembahasan Jawaban a Karena pusatnya di $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $X$ ke sumbu $Y$, yaitu $r = 3$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x + 3^2 + y- 2^2 & = 3^2 \\ x+3^2 + y-2^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+3^2 + y-2^2 = 9}$ Jawaban b Karena pusatnya di $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $Y$ ke sumbu $X$, yaitu $r = 2$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 2^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 4 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-4^2 + y-2^2 = 4}$ [collapse] Soal Nomor 13 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x-3^2 + y-4^2 = 25$ yang melalui titik $0,0$. Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik pusat $0,0$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya. Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut. $$\begin{aligned} x-3^2 + y-4^2 & = 25 \\ x-3^2 + mx-4^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ 1 + m^2x^2- 8m + 6x & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0.$ Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$. $\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ -8m-6^2- 41 + m^20 & = 0 \\ -8m- 6^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} \\ m & =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$ [collapse] Soal Nomor 14 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $x + y-5 = 0$ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2 + y^2- 2x-2y-34 = 0$ dan $x^2 + y^2 + 8x-2y-100 = 0$. Pembahasan Langkah 1 Menentukan titik potong kedua lingkaran Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah $\begin{aligned} x-1^2 + y-1^2 & = 36 \\ x+4^2 + y-1^2 & = 117 \end{aligned}$ Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh $$\begin{aligned} x-1^2-x + 4^2 & =-81 \\ x^2-2x + 1-x^2 + 8x + 16 & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x-1^2 + y-1^2 = 36$, sehingga didapat $\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-1\right^2 + y-1^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$ Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$. Langkah 2 Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $x_p, y_p$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti, $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-x_p^2 + y + x_p- 5^2 & = r^2 \end{aligned}$ Karena lingkaran melalui titik $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$, diperoleh $$\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \\ \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan $\begin{aligned} & \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 \\ & = \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right^2 \end{aligned}$ Jabarkan, sehingga nantinya didapat $x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$ Ini berarti, $y_p = 1$. Jadi, titik pusat lingkarannya di $4, 1$. Langkah 3 Menentukan persamaan lingkaran Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2= r^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} r^2 & = \left\dfrac{33}{5}-4\right^2 + \left1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran itu adalah $\boxed{x-4^2 + y-1^2 = \dfrac{57}{5}}$ Perhatikan grafiknya di bawah ini. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade Soal Nomor 15 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $2,1$ dan konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0.$ Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum kanonik sebagai berikut. $$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ x^2+6x + y^2+8y- 37 & = 0 \\ x+3^2-9+y+4^2-16-37 &= 0 \\ x+3^2 + y+4^2 & = 62 \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $-3,-4.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $-3,-4$ dan melalui titik $2,1$ adalah $r^2 = 2 + 3^2 + 1 + 4^2 = 50.$ Jadi, diperoleh $r^2 = 50.$ Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $\boxed{x+3^2 + y+4^2 = 50}$ [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Fungsi Kuadrat Soal Nomor 16 Hitung nilai $A, B$, dan $C$ jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$ melalui titik $3,5, -2,4$, dan $-6,-2$. Pembahasan Substitusi tiap titik sebagai nilai $x, y$ pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh $$\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ -2^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ -6^2+-2^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} 3A+5B+C =-34 & 1 \\-2A+4B+C =-20 & 2 \\-6A- 2B +C =-40 & 3 \end{cases}$ Dari $1$ dan $2$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-2A + 4B + C =-20 \\ \rule{ cm}{ \\ 5A + B =-14 &~4 \end{aligned}$ Dari $2$ dan $3$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-6A- 2B + C =-40 \\ \rule{ cm}{ \\ 9A + 7B = 6 &~5 \end{aligned}$ Selanjutnya, dari $4$ dan $5$, diperoleh $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & =-14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~35A+7B & =-98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ \\ & \! \begin{aligned} 26A& =-104 \\ A & =-4 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan gantikan $A =-4$ pada persamaan $4$ atau $5$, misalkan pada persamaan $4$ . $\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5-4+B&=-14 \\-20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}$ Substitusikan gantikan $A =-4$ dan $B = 6$ pada persamaan $1, 2$, atau $3$, misalkan pada persamaan $1$ . $\begin{aligned} 3A+5B+C & =-34 \\ 3-4 + 56 + C & =-34 \\-12+30+C&=-34 \\ C & =-52 \end{aligned}$ Jadi, nilai $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah $-4, 6$, dan $-52$. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 17 Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan $x-13^2 + y-4^2 = 16.$ Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat $11, 4, 8, 5$, dan $15, 5$, manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot? Pembahasan Jawaban a Perhatikan bahwa $x-13^2 + y-4^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $13, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Posisikan titik $13, 4$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $9, 4, 17, 4, 13, 8$, dan $13, 0$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran. Jawaban b Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $x, y$ yang diberikan ke bentuk $x-13^2 + y-4^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran sinar lampu sorot; Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran tepi sinar lampu sorot; Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran sinar lampu sorot; Untuk koordinat $11, 4$, diperoleh $\begin{aligned} 11-13^2 + 4-4^2 & = -2^2 + 0^2 \\ & = 4 16 \end{aligned}$ Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot. Untuk koordinat $15, 5$, diperoleh $$\begin{aligned} 15-13^2 + 5-4^2 & = 2^2 + 1^2 \\ & = 5 < 16 \end{aligned}$$Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi. [collapse] Soal Nomor 18 Sebuah radar ditempatkan pada koordinat $2, 3$ dan mampu mendeteksi hingga $50$ km ke segala arah. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar. Jika sebuah objek berada pada koordinat $40, 20$, dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya! Pembahasan Jawaban a Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $2, 3$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$. Persamaannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 2500.$ Jawaban b Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $x-2^2 + y-3^2$ menghasilkan $\begin{aligned} 40-2^2 + 20-3^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$ Karena itu, objek yang berada pada koordinat$40, 20$ terdeteksi oleh radar itu. [collapse] Soal Nomor 19 Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan $2y-2x-20=0$ diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan $x^2+y^2=52.$ Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik $0,0$ dihitung dari inti bumi. Pembahasan Perhatikan bahwa $\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$ Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis $\begin{aligned} x^2+x+10^2 & = 52 \\ x^2 + x^2+20x+100 & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ x+6x+4 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4.$ Untuk $x=-6$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4.$ Untuk $x=-4$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6.$ Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $-6,4$ dan $-4, 6.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Lingkaran Tingkat SD

persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah